原题呈现

P5658 括号树#

题目背景#

本题中合法括号串的定义如下：

() 是合法括号串．
如果 A 是合法括号串，则 (A) 是合法括号串．
如果 A，B 是合法括号串，则 AB 是合法括号串．

本题中子串与不同的子串的定义如下：

字符串 S 的子串是 S 中连续的任意个字符组成的字符串．S 的子串可用起始位置 $l$ 与终止位置 $r$ 来表示，记为 $S (l, r)$ （ $1 \leq l \leq r \leq |S |$ ， $|S |$ 表示 S 的长度）．
S 的两个子串视作不同当且仅当它们在 S 中的位置不同，即 $l$ 不同或 $r$ 不同．

题目描述#

一个大小为 $n$ 的树包含 $n$ 个结点和 $n - 1$ 条边，每条边连接两个结点，且任意两个结点间有且仅有一条简单路径互相可达．

小 Q 是一个充满好奇心的小朋友，有一天他在上学的路上碰见了一个大小为 $n$ 的树，树上结点从 $1 \sim n$ 编号， $1$ 号结点为树的根．除 $1$ 号结点外，每个结点有一个父亲结点， $u$ （ $2 \leq u \leq n$ ）号结点的父亲为 $f_u$ （ $1 ≤ f_u < u$ ）号结点．

小 Q 发现这个树的每个结点上恰有一个括号，可能是 ( 或 )．小 Q 定义 $s_i$ 为：将根结点到 $i$ 号结点的简单路径上的括号，按结点经过顺序依次排列组成的字符串．

显然 $s_i$ 是个括号串，但不一定是合法括号串，因此现在小 Q 想对所有的 $i$ （ $1\leq i\leq n$ ）求出， $s_i$ 中有多少个互不相同的子串是合法括号串．

这个问题难倒了小 Q，他只好向你求助．设 $s_i$ 共有 $k_i$ 个不同子串是合法括号串，你只需要告诉小 Q 所有 $i \times k_i$ 的异或和，即：

(1 \times k_1)\ \text{xor}\ (2 \times k_2)\ \text{xor}\ (3 \times k_3)\ \text{xor}\ \cdots\ \text{xor}\ (n \times k_n)

其中 $\text{xor}$ 是位异或运算．

输入格式#

第一行一个整数 $n$ ，表示树的大小．

第二行一个长为 $n$ 的由 ( 与 ) 组成的括号串，第 $i$ 个括号表示 $i$ 号结点上的括号．

第三行包含 $n − 1$ 个整数，第 $i$ （ $1 \leq i \lt n$ ）个整数表示 $i + 1$ 号结点的父亲编号 $f_{i+1}$ ．

输出格式#

仅一行一个整数表示答案．

输入输出样例 #1#

输入 #1#

1
5
2
(()()
3
1 1 2 2

输出 #1#

1
6

说明/提示#

【样例 1 解释】

树的形态如下图：

将根到 1 号结点的简单路径上的括号，按经过顺序排列所组成的字符串为 (，子串是合法括号串的个数为 $0$ ．

将根到 2 号结点的字符串为 ((，子串是合法括号串的个数为 $0$ ．

将根到 3 号结点的字符串为 ()，子串是合法括号串的个数为 $1$ ．

将根到 4 号结点的字符串为 (((，子串是合法括号串的个数为 $0$ ．

将根到 5 号结点的字符串为 (()，子串是合法括号串的个数为 $1$ ．

【样例 2】

见选手目录下的 brackets/brackets2.in 与 brackets/brackets2.ans．

【数据范围】

测试点编号	$n\le$	特殊性质
$1\sim 2$	$8$	$f_i=i-1$
$3\sim 4$	$200$	^
$5\sim 7$	$2000$	^
$8\sim 10$	^	无
$11\sim 14$	$10^5$	$f_i=i-1$
$15\sim 16$	^	无
$17\sim 20$	$5\times 10^5$	^

既然是一棵树，不知道怎么做的时候就搜索．尝试 dfs，并在搜索时维护一些数据．

显然，我们在这道题中发现了括号，括号和栈是紧密相关的，可以在搜索时维护一个栈，栈内存储当前路径上还没有被匹配的左括号的下标．

最后，我们还发现了子串，看到了子串或子序列，就要想到 dp，并定义状态为：

定义 dp[i] 为以……结尾……的方案数（长度）

因此，此题我们定义 dp[i] 表示以节点 $i$ 结尾的方案数．

这道题已经拆解完了，接下来就只需要进行一次搜索，并在搜索时动态维护栈、dp 数组、题目中的 k 数组即可．具体来说，当我们遍历到节点 $u$ 时：

将初始化 $dp_u=0,k_u=k_{fa_u}$ ， $fa_u$ 是 $u$ 的父节点．
检查当前节点的括号
- 若是左括号，则将 $u$ 入栈．由于不可能有合法的括号序列是以左括号为结尾的，因此 $dp_u$ 仍为 0．
- 若是右括号，检查栈中有没有可以配对的左括号
  - 若是没有，则这个右括号不能成功匹配，因此 $dp_u$ 仍为 0．
  - 若是存在，则完成一次匹配，将栈顶的左括号出栈．设这个左括号的位置为 $x$ ，则 $dp_{fa_x}$ 为在这对括号配成之前就组合成的子串，且恰好以 $fa_x$ 结尾．显然，这每一个子串都可以加上 $[x,u]$ ，成为一个新的子串．因此， $dp_u = dp_{fa_x} + 1$ ， $k_u$ 增加 $dp_u$ ．
继续向下 dfs．
将栈还原．

依照这个流程，可以写出标程：

1
#include <bits/stdc++.h>
2
using namespace std;
3
#define int long long
4
const int N = 5e5 + 10;
5
int n, f[N], ans, dp[N], k[N];
6
stack<int> sta;
7
vector<int> e[N];
8
char c[N];
9

10
void dfs(int t) {
11
    k[t] = k[f[t]];
12
    int top = -1;
13
    if (c[t] == '(') {
14
        sta.push(t);
15
    } else {
16
        if (sta.empty()) {
17
            // 无法匹配
18
            dp[t] = 0;
19
        } else {
20
            // 可以匹配
21
            top = sta.top();
22
            sta.pop();
23
            dp[t] = dp[f[top]] + 1;
24
            k[t] += dp[t];
25
        }
26
    }
27
    for (int i = 0; i < e[t].size(); i++) {
28
        int v = e[t][i];
29
        dfs(v);
30
    }
31
    if (c[t] == '(') {
32
        sta.pop();
33
    } else if (top != -1) {
34
        // 可以匹配
35
        sta.push(top);
36
    }
37
}
38

39
signed main() {
40
    cin >> n;
41
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
42
        cin >> c[i];
43
    }
44
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
45
        cin >> f[i];
46
        e[f[i]].push_back(i);
47
    }
48
    dfs(1);
49
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
50
        ans ^= i * k[i];
51
    }
52
    cout << ans;
53
    return 0;
54
}

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安吉D11-B

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